ریاضی فطرت کی موسیقی ہے
Mathematics and music share a profound, structural bond rooted in the patterns of the physical world. Classic and natural rhythms follow a mathematical scaling law where smaller beats and larger structural changes balance out identically to fluid dynamics and biological pulses. This write up in Urdu "ریاضی فطرت کی موسیقی ہے" is about a 358-Year mathematical problem (Pierre de Fermat; Yutaka Taniyama; Sir Andrew Wiles) and it's solution containing lessons for humanity.
أَعُوذُ بِاللّٰهِ مِنَ الشَّيْطَانِ الرَّجِيمِ
بِسۡمِ ٱللهِ ٱلرَّحۡمَـٰنِ ٱلرَّحِيمِ
اللہ کے نام سے شروع جو بڑا مہربان نہایت رحم کرنے والا ہے
ریاضی فطرت کی موسیقی ہے۔
ریاضی اور موسیقی جسمانی دنیا کے نمونوں میں جڑے ایک گہرے، ساختی بندھن کا اشتراک کرتے ہیں۔ فیثا غورث / پائتھا گورس کی طرف سے دریافت کیے گئے ہلنے والے تاروں کے سادہ عددی تعدد کے تناسب سے لے کر دل کی دھڑکنوں جیسے قدرتی عمل کی آئینہ دار 1/ایف فریکٹل تال تک، ریاضی فطرت کی صوتیات کے پوشیدہ کمپوزر کے طور پر کام کرتا ہے۔
کلاسیکی اور فطری تال ایک ریاضیاتی پیمانے کے قانون کی پیروی کرتے ہیں جہاں چھوٹی دھڑکنیں اور بڑی ساختی تبدیلیاں سیال حرکیات اور حیاتیاتی نبضوں میں یکساں توازن رکھتی ہیں۔ پانچویں کے دائرے، گردشی تبدیلیاں، اور ہندسی شکلیں مقامی رشتوں کو براہ راست راگ کی ترقی اور میلوڈک ڈیزائن میں نقش کرتی ہیں۔ مندرجہ ذیل میں، آئیے ایک ریاضی کے مسئلے کو پڑھیں اور اس کے حل کے لیے وقت کی ایک مدت میں سفر ریاضی کی موسیقی کی نوعیت کو ظاہر کرتا ہے۔
تین سو اٹھاون 358 سالہ ریاضی کا مسئلہ: پیئر ڈی فرمیٹ; یوتاکا تانیاما؛ سر اینڈریو وائلز؛ انسانیت کے لیے سبق...
سنہ 1637 میں، فرانسیسی وکیل اور ریاضی دان پیئر ڈی فرمیٹ نے ایک قدیم یونانی متن پڑھا۔ پیئر ڈی فرمیٹ ایک وکیل تھا؛ جو نہ پروفیسر تھا اور نہ ہی کسی عدالت کا ریاضی دان مشی۔ وہ ایک صوبائی فرانسیسی وکیل تھا جس نے ریاضی اس طرح سیکھی تھی؛ جس طرح کچھ لوگ مصروفیت میں کچھ بھی شغل کرلیتے ہیں؛ کیونکہ وہ خود کو کسی ذہنی مشقت سےروک نہیں سکتے۔ لہذا، ان فرصت کے لمحات میں، نمبر تھیوری پر ایک قدیم یونانی متن پڑھتے ہوئے، وہ پائتھاگورین ٹرپلز کے بارے میں ایک صفحہ پر رک گیا۔ خیال آسان ہے: 3² + 4² = 5²۔ پورے نمبر، کامل فٹ۔ اس نے سوچا کہ اگر آپ نے کفایت شعار کو اٹھایا تو کیا ہوا؟ اسکیورز کے بجائے کیوبز۔
فرمیٹ نے کہا کہ بلند تر قوتوں (مکعب، چوتھی قوت وغیرہ) کے معاملے میں یہ اصول کارگر ثابت نہیں ہوتا۔
چوتھی قوتیں۔ اس سے بلند تر قوتیں۔
x^n + y^n = z^n
اس کا دعویٰ: یہ کبھی کام نہیں کرتا۔ 2 سے اوپر کے کسی بھی ایکسپوننٹ کے لیے، کوئی مکمل نمبر اوپر والے کو پورا نہیں کرتا۔ ایک نہیں۔ کبھی۔
اسے آزمائیں: 3³ + 4³ = 27 + 64 = 91۔ ایک مکمل کیوب نہیں ہے۔ 6³ + 8³ = 216 + 512 = 728۔ مکعب بھی نہیں۔ آپ جاری رکھ سکتے ہیں۔ یہ کبھی کام نہیں کرتا۔ فرمیٹ نے دعوی کیا کہ وہ جانتا ہے کہ ہر ایکسپوننٹ کے لیے، ہمیشہ کے لیے کیوں اور اسے لکھنے کی زحمت نہیں کی جا سکتی۔
اس نے لکھا کہ اسے ایک ثبوت مل گیا ہے؛ اور یہ ایک مسئلہ بن گیا کہ وی کا ثبوت ہوسکتا ہے؟
لیکن اس کاغذ کا مارجن اس پر جواب کا مشتمل ہونے کے لیے بہت کم تھا۔ پھر وہ مر گیا۔ اگراس کے پاس کبھی کوئی ثبوت موجود تھا جس پر مورخین کو اب شک ہے؛ تو وہ اسے اپنے ساتھ لے گیا۔ زیادہ تر ماہرین کا خیال ہے کہ وہ غلطی پر تھا یا اس کے پاس حقیقی عام ثبوت کی کمی تھی۔
تاہم، پیئر ڈی فرمیٹ کا آخری تھیورم کے نام سے جانا جانے والا "نوٹ" 358 سال تک ریاضی میں پھٹے صفحہ کی طرح پڑا رہا۔ تاہم، ریاضی کا مسئلہ کئی نسلوں کے ذہنوں کو چھیڑتا رہا۔ لیون ہارڈ ایلر جیسے عظیم ریاضی دانوں نے انفرادی حصوں کو ثابت کیا (جیسے کیوبز کے لیے)، لیکن ہر نمبر کے لیے ایک عالمگیر اصول دسترس سے باہر رہا۔ ضدی مسئلے سے اگلے 300 سالوں میں جدید نمبر تھیوری اور الجبری نمبر جیومیٹری کی مکمل طور پر نئی شاخوں کی تخلیق پر مجبور کر دیا۔
مشکل مساوات نہیں تھی۔ کوئی بھی بچہ اسے پڑھ سکتا ہے۔ مسئلہ یہ تھا کہ ہر آلے کے ریاضی دان جانتے تھے، آلات کم پڑتے رہے، کیونکہ کوئی بھی مخصوص ایکسپونینٹس کے دعوے کی تصدیق کر سکتا تھا اور ایسی کوششیں مسلسل کی جاتی تھیں۔ لیکن ایک عام ثبوت کے لیے ایسی چیز کی ضرورت ہوتی ہے جو ایک ہی وقت میں ہر ممکنہ ایکسپوننٹ کا احاطہ کرے۔ یہ مکمل طور پر ایک مختلف قسم کا مسئلہ ہے۔ اور پتہ چلا کہ اس کے لیے جو مشینری درکار تھی وہ ابھی تک کسی نے نہیں بنائی تھی۔
حل کہیں اور دیکھنے کی ضرورت ہے۔ کوئی نہیں جانتا کہ کہاں؟
بیسویں 20 ویں صدی میں ریاضی جس اصول کے ذریعے چل رہا تھا۔ وہ ایک خاموش تقسیم تھا. ایک طرف نمبر تھیوری: انٹیجرز، پرائمز، مجرد اور ضد۔ دوسری لہروں پہ ہم آہنگی، مسلسل افعال پر ہارمونک تجزیہ۔ مختلف الفاظ، مختلف جمالیات۔ ایک شعبہ کے محققین کو شاذ و نادر ہی یہ جاننے کی ضرورت تھی کہ دوسرے میں کیا ہو رہا ہے۔ سارے فعال ادارے ایک دوسرے کے بارے میں زیادہ تجسس کے بغیر ایک ساتھ رہتے تھے۔
پیئر ڈی فرمیٹ کا 358 سالہ ریاضی کا مسئلہ — پیئر ڈی فرمیٹ کا آخری تھیورم — بالآخر 1994 میں اینڈریو وائلز نے جاپانی ریاضی دانوں یوتاکا تانیاما اور گورو شیمورا کی طرف سے پیش کی گئی تجویز کردہ عمل سے یہ خاص معاملہ ثابت کر کے حل کیا۔ ان جاپانیوں کے 1955 کے قیاس نے ریاضی کے دو مکمل طور پر مختلف شعبوں کے فرق کو پاٹ دیا، جس سے فرمیٹ کی مضحکہ خیز مساوات کو توڑنے کا راستہ بنایا گیا۔
یوتاکا تانیاما تجویز گورو شمورا کی طرف سے توسیع؛ نے وضاحت کی کہ ہر عقلی بیضوی وکر "ماڈیولر" ہوتا ہے اور ایک ماڈیولر شکل سے منسلک ہوتا ہے۔ انتہائی ہم آہنگ پیچیدہ افعال کے ساتھ بنیادی کیوبک مساوات کو جوڑتا ہے۔ گیرہارڈ فری نے تجویز کیا کہ فرمیٹ کے آخری تھیوریم کی جوابی مثال ایک بیضوی وکر بنائے گی جو ماڈیولر نہیں ہو سکتی۔ کین ربیٹ نے 1986 میں اس ربط کو ثابت کیا، یعنی تانیاما-شیمورا قیاس کے ثبوت کا مطلب فرمیٹ کا آخری نظریہ ثابت کرنا تھا۔
یوتاکا تانیاما اور گورو شیمورا کی تجویز کو باضابطہ طور پر ماڈیولریٹی تھیوریم کے طور پر بیان کیا گیا ہے، ایک غیر معمولی ریاضیاتی پل جس میں کہا گیا ہے کہ بیضوی منحنی خطوط اور ماڈیولر شکلیں ایک جیسی چیزیں ہیں۔ تاریخی طور پر تانیاما-شیمورا-ویل قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے، اس نے بنیادی طور پر ثابت کیا کہ ریاضی کی دو مکمل طور پر الگ الگ کائناتیں — ایک جیومیٹری اور الجبرا سے متعلق، دوسری پیچیدہ، لامحدود ہم آہنگی کے ساتھ — بالکل متحد تھیں۔
**(y^2 = x^3 + ax + b)
یوتاکا تانیاما تجویز بیضوی منحنی خطوط سے منسلک ہے (شکل کی مساوات **ماڈیولر شکلوں میں (ایک پیچیدہ چار جہتی جگہ میں کام کرنے والے انتہائی ہم آہنگ افعال)۔ اس نے ریاضی کے روزیٹا اسٹون کے طور پر کام کیا، جس سے ایک فیلڈ میں ناقابل حل مسائل کا ترجمہ کرکے دوسرے فلیڈ کی زبان میں حل کیا جا سکتا ہے۔ اس نے اس یقین کو ختم کر دیا کہ جیومیٹری اور پیچیدہ افعال مکمل طور پر الگ الگ ڈومینز تھے۔
دو مختلف انواع کا تصور کریں جو باہر سے بالکل غیر متعلق نظر آتی ہیں۔ تجویز نے سکھایا کہ اگر آپ ان کے جینیاتی کوڈ یعنی اندرونی ساخت کو ترتیب دیتے ہیں تو وہ بالکل
نے وہی ریاضیاتی ڈی این اے کا اشتراک کرتے ہیں۔ بیضوی وکر کے حلوں کی گنتی سے اعداد کی بالکل وہی ترتیب ملتی ہے جو ماڈیولر شکل کے اندرونی نمونوں کی ہوتی ہے۔ اس تجویز نے پیش رفت کہ اس سے لینگ لینڈز پروگرام کے لیے پہلے بڑے ٹھوس ثبوت کے طور پر کام کیا، جو کہ ریاضی کا ایک وسیع و عریض متحد نظریہ ہے۔ اس کا مقصد ٹوپولوجی، نمبر تھیوری، جیومیٹری اور تجزیہ کو جوڑنے والے رابطوں کا ایک ہی ویب تلاش کرنا تھا۔ یہ ایک وسیعت زدہ، قیاس آرائی پر مبنی اندازے سے جدید نمبر تھیوری کی ساختی ریڑھ کی ہڈی میں تبدیل ہو گیا۔
سنہ 1967 میں، رابرٹ لینگ لینڈز نے آندرے وائل کو ایک خط لکھا جس میں بتایا گیا کہ یہ ریاضی کی علیحدگی ایک وہم ہے۔ اس نے تقریباً معذرت خواہانہ انداز میں کہا: اگر آپ کو لگتا ہے کہ یہ خالص قیاس آرائی ہے، تو ردی کی ٹوکری وہیں ہے۔ پھر اس نے تجویز پیش کی کہ نمبر تھیوری سے اشیاء اور ہارمونک تجزیہ کی اشیاء ایک دوسرے سے بالکل مطابقت رکھتی ہیں، جیسے کہ دو حروف تہجی ایک ہی زبان کو انکوڈنگ کرتے ہیں۔ وسیع تر منصوبہ لینگ لینڈز پروگرام بن گیا۔ زیادہ تر ریاضی دانوں نے اسے بصیرت بلکہ دور سمجھا۔ کچھ نے ویسے بھی اس کی طرف تعمیر شروع کر دی۔
فرمیٹ کا لنک 1980 کی دہائی میں گیرہارڈ فری کے ذریعے آیا۔ فری نے ایک صاف مفروضے سے پوچھا: اگر فرمیٹ غلط تھا تو کیا ہوگا؟ کیا ہوگا اگر کچھ اے، بی، سی، اور اہم ایکسپوننٹ پی اصل میں اس ذیل کو مطمئن کریں؟
a^p + b^p = c^p
اس نے دکھایا کہ اس طرح کا حل ایک بیضوی وکر پیدا کرے گا تاکہ ساختی طور پر یہ عجیب و غریب ہو کہ یہ لینگ لینڈز کے فریم ورک میں فٹ نہیں ہو سکتا، یہ "ماڈیولر" نہیں ہو سکتا، ہارمونک تجزیہ سے کسی چیز سے مماثل نہیں ہو سکتا۔ کین ریبٹ نے اس کے بعد اثر کو سختی سے ثابت کیا: اگر ہر بیضوی وکر ماڈیولر ہے، تو فری کا وکر موجود نہیں ہوسکتا، اور فرمیٹ کی مساوات کا کوئی حل نہیں ہے۔ راستے کا نقشہ بنایا گیا۔ ماڈیولرٹی ثابت کریں۔ فرمیٹ مندرجہ ذیل ہے۔
سر اینڈریو وائلز فرمیٹ مساوات کا حل
سر اینڈریو وائلز ایک مشہور برطانوی ریاضی دان ہیں جو 11 اپریل 1953 کو پیدا ہوئے تھے۔ وہ فرمیٹ کے آخری تھیورم کو حل کرنے کے لیے مشہور ہیں، یہ ایک مشہور ریاضی کی پہیلی ہے جس نے 350 سال سے زیادہ عرصے تک سب سے بڑے ذہنوں کو چکرا کر رکھ دیا تھا۔ اس نے سیمسٹیبل بیضوی منحنی خطوط کے لیے اس ماڈیولریٹی کو ثابت کرنے میں خفیہ طور پر سات سال گزارے، آخر کار 358 سالہ کیس کو بند کر دیا۔
اینڈریو وائلز نے 1986 میں ربیٹ کے نتائج کے بارے میں سنا اور سات سال تک خاموشی سے غائب ہوگیا۔ وہ پرنسٹن میں تھا، جس کی حفاظت کے لائق شہرت تھی۔ فرمیٹ پر کھل کر کام کرنا لاپرواہ نظر آتا۔ جونیئر ریاضی دان اس سے پہلے کہ وہ بہتر طور پر جانتے ہوں۔ لہذا اس نے تقریبا کسی کو نہیں بتایا، اپنے کام کو چھوٹے اشاعتی مسائل کی ترتیب کے طور پر تشکیل دیا جو خفیہ طور پر بڑے ثبوت کے ٹکڑے تھے۔ اس کے ساتھیوں نے فرض کیا کہ وہ سست ہو گیا ہے۔ وہ اس کے برعکس کر رہا تھا۔
جون 1993 میں اس نے ثبوت کا اعلان کیمبرج میں ایک کانفرنس میں کیا۔ تین لیکچرز، نتیجہ کی تعمیر۔ بات ختم ہونے سے پہلے ہی بات پھیل گئی۔ پھر ایک ریفری کو ایک حقیقی خامی ملی۔ ٹائپنگ کی غلطی نہیں۔ یولر سسٹم کہلانے والی تعمیر کے ارد گرد دلیل میں ایک خلا۔ وائلز نے اس کی مرمت کرنے کی کوشش میں ایک سال گزارا، بار بار ناکام رہا، اور خلاء کے اعتراف کے ساتھ ناقص ورژن کو عوامی طور پر جاری کرنے کے قریب پہنچا۔ ستمبر 1994 میں، ترک کرنے کے بارے میں، اس نے ایک بار پھر دیکھا۔
اس نے دیکھا۔ طے کرنے کے لیے دو طریقوں کو یکجا کرنا ضروری ہے جو اس نے الگ سے ترک کر دیا تھا۔ انہوں نے مل کر کام کیا۔ اس نے 20 ویں صدی کے جدید ریاضی کے ہتھیاروں کو ہتھیار بنا کر حاصل کیا، خاص طور پر گیلوئس کی نمائندگی کو ماڈیولر شکلوں سے جوڑ کر۔ اس کے ذریعہ استعمال ہونے والے پیش رفت کے آلات میں شامل ہیں "ایساواوا نظریہ"؛ وائلز نے "لامحدود گنتی کی مشین" بنانے کے لیے ایساواوا تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے ایک ریاضی کے پہاڑ کی ناپنے یا پیمائش کرنے کی کوشش میں برسوں گزارے، لیکن یہ بار بار کم پڑ گئی۔ 1991 میں، اس نے حکمت عملی (فلیخ کا طریقہ کار) کو ایک بالکل نئے طریقہ کار میں تبدیل کیا جسے "کولی واگن فلیخ" طریقہ کہا جاتا ہے تاکہ ایک مخصوص ریاضیاتی گروپ کے سائز کو پابند کیا جا سکے۔ اسے پوری تانیاما – شمورا قیاس کو ثابت کرنے کی ضرورت نہیں تھی۔ اسے صرف نیم مستحکم بیضوی منحنی خطوط کے لیے ثابت کرنا تھا، جو کہ فرمیٹ کی مساوات کو حاصل کرنے کے لیے کافی تھا۔
جون 1993 میں، وائلز نے کیمبرج کے آئزک نیوٹن انسٹی ٹیوٹ میں تین لیکچر دیے، بلیک بورڈ پر فرمیٹ کا آخری تھیورم لکھ کر اپنے آخری لیکچر کا اختتام کیا۔ اس موسم گرما میں ہم مرتبہ جائزہ لینے کے سخت عمل کے دوران، ریفری نک کاٹز نے وائلز کے کولیوگین – فلاچ طریقہ کے اطلاق میں ایک تباہ کن خلا دریافت کیا۔ ریاضی کی مشینری گر گئی۔ ایک سال سے زیادہ عرصے تک، وائلز نے سوراخ کو پیوند کرنے کی شدت سے کوشش کی جب کہ میڈیا اور ریاضی کی دنیا شدت سے دیکھ رہی تھی۔
مورخہ 19 ستمبر 1994 کو، جب وہ شکست تسلیم کرنے کے دہانے پر تھا، وائلز نے آخری بار اپنے ناکام کولی واگن - فلیخ فریم ورک کو دیکھا۔ اسے اچانک احساس ہوا کہ فلاچ طریقہ کو ناکام بنانے والی چیز بالکل وہی تھی جس کی اسے اپنے اصل، ترک شدہ ایساواوا تھیوری کے نقطہ نظر کو مکمل طور پر کام کرنے کی ضرورت تھی۔. دو مسابقتی طریقوں کو ملا کر، فرق ختم ہو گیا۔ وہ آنسوؤں سے رویا؛ خوشی کے انسو تھے، اور 358 سال پرانا مسئلہ سرکاری طور پر حل ہو گیا۔ تصحیح شدہ ثبوت 1995 میں شائع ہوا تھا۔
فرمیٹ کے آخری تھیوریم کے حتمی حل کو نیم مستحکم بیضوی منحنی خطوط کے ماڈیولرٹی تھیوریم کے ایک ریاضیاتی ثبوت کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جو بالواسطہ طور پر ثابت کرتا ہے کہ فرمیٹ مساوات کے لیے کوئی غیر معمولی عددی حل موجود نہیں ہے جب (این > 2)۔ اعداد کو تلاش کرنے کے بجائے، حل ریاضی کے دو بالکل مختلف شعبوں کے درمیان ہندسی اور الجبری پل ثابت کرتا ہے۔
(n > 2) کے لیے، مساوات:(x^{n}+y^{n}=z^{n} کے پاس مثبت عدد (x، y) اور (z)***
حل باضابطہ طور پر قائم کرتا ہے کہ کسی بھی عدد (این > 2) کے لیے، مساوات: ***کے پاس مثبت عدد (ایکس، وائی) اور (زیڈ) کے لیے کوئی حل نہیں ہے۔
خلاصہ
اصل میں کیا ہوا: 1630 کی دہائی سے ایک نمبر تھیوری کا مسئلہ صرف نمبر تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے ناقابل ثابت ہوا۔ وائلز نے اسے نمبر تھیوری اور ہارمونک تجزیہ کے درمیان ایک گہرا ساختی تعلق قائم کرکے حل کیا - دو شعبے جو بمشکل ایک دوسرے کو تسلیم کرتے تھے اور نتیجے کے طور پر فرمیٹ منہدم ہوگئے۔ اس کے ہوم گراؤنڈ پر مسئلہ حل نہیں ہوا۔ ہوم گراؤنڈ کہیں اور سے جڑا ثابت کرکے اس میں شگاف ڈالا گیا۔
اینڈریو وائلز کا ثبوت جدید ریاضیاتی تاریخ میں بین الضابطہ نقطہ نظر کی سب سے بڑی مثالوں میں سے ایک ہے۔ جبکہ فرمیٹ کا آخری نظریہ نمبر تھیوری (مکمل اعداد کا مطالعہ) کا مسئلہ ہے، وائلز روایتی نمبر تھیوری ٹولز کا استعمال کرتے ہوئے اسے حل نہیں کر سکے۔ اس کے بجائے، حل کے لیے ریاضی کے مکمل طور پر دو الگ الگ شعبوں کے درمیان ایک وسیع پل بنانے کی ضرورت تھی۔
یہ سیکھنے کے قابل سبق ہے۔ یہ بصیرت کہ صحیح ٹولز بالکل مختلف دائرے / فیلڈ میں تھے، اور ان تک پہنچنے کے لیے ایک پل بنانے کی ضرورت تھی، زیادہ تر ریاضی دانوں کا خیال تھا کہ بیس سال پہلے قیاس آرائیاں تھیں۔ ہم انسانوں کو تمام بنی نوع انسان کے لیے پائیدار امن کے لیے اپنے مسائل کو ایک کثیر الشعبہ، کثیر الطبقاتی، بین الانسانی نقطہ نظر کے ذریعے حل کرنا سیکھنا چاہیے تاکہ سب کے لیے ضروری زندگی کے تمام شعبوں میں مناسب حل حاصل کیا جا سکے۔
ایک آرٹیکل "358 سالہ ریاضی کا مسئلہ جسے کوئی چھو نہیں سکتا" کی بنیاد پر؛ پردیپ مشرا کی تحریر کردہ اور 20 اپریل 2026 کو شائع ہوئی۔
https://medium.com/variables-values/the-358-year-math-problem-nobody-could-touch-031086e028fa